基于B树和B+树的使用：数据搜索和数据库索引的

数据运维 2023-04-18 竹子爱熊猫手机阅读

B-树 1 .B-树定义 B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树： ⑴树中每个结点至多有m 棵子树； ⑵若根结点

                        B-树

1 .B-树定义

B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。

定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：⑴树中每个结点至多有m 棵子树；⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；

⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：

（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki

Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.

n 为关键码的个数。⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

即所有叶节点具有相同的深度，等于树高度。

如一棵四阶B-树，其深度为4.

B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。

在上图的B-树上查找关键字47的过程如下：

1）首先从更开始，根据根节点指针找到 *节点，因为 *a 节点中只有一个关键字，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。

2）顺指针找到 *c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。

3）同样，顺指针找到 *g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。

2. 查找算法复制代码代码如下: typedef int KeyType ; #define m 5 /*B 树的阶，暂设为5*/ typedef struct Node{ int keynum; /* 结点中关键码的个数，即结点的大小*/ struct Node *parent; /*指向双亲结点*/ KeyType key[m+1]; /*关键码向量，0 号单元未用*/ struct Node *ptr[m+1]; /*子树指针向量*/ Record *recptr[m+1]; /*记录指针向量*/ }NodeType; /*B 树结点类型*/ typedef struct{ NodeType *pt; /*指向找到的结点*/ int i; /*在结点中的关键码序号，结点序号区间[1…m]*/ int tag; /* 1:查找成功，0:查找失败*/ }Result; /*B 树的查找结果类型*/ Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx) { /*在m 阶B 树t 上查找关键码kx，反回(pt,i,tag)。若查找成功，则特征值tag=1，*/ /*指针pt 所指结点中第i 个关键码等于kx；否则，特征值tag=0,等于kx 的关键码记录*/ /*应插入在指针pt 所指结点中第i 个和第i+1 个关键码之间*/ p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; /*初始化，p 指向待查结点，q 指向p 的双亲*/ while(p&&!found) { n=p->keynum;i=Search(p,kx); /*在p-->key[1…keynum]中查找*/ if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; /*找到*/ else {q=p;p=p->ptr[i];} } if(found) return (p,i,1); /*查找成功*/ else return (q,i,0); /*查找不成功，反回kx 的插入位置信息*/ } B- 树查找算法分析

从查找算法中可以看出，在B- 树中进行查找包含两种基本操作:

( 1) 在B- 树中查找结点；

( 2) 在结点中查找关键字。

由于B- 树通常存储在磁盘上，则前一查找操作是在磁盘上进行的，而后一查找操作是在内存中进行的，即在磁盘上找到指针p 所指结点后，先将结点中的信息读入内存，然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。显然，在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多.

因此，在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B- 树上的层次树，是决定B树查找效率的首要因素

那么，对含有n 个关键码的m 阶B-树，最坏情况下达到多深呢？可按二叉平衡树进行类似分析。首先，讨论m 阶B-数各层上的最少结点数。

由B树定义：B树包含n个关键字。因此有n+1个树叶都在第J+1 层。

1）第一层为根，至少一个结点，根至少有两个孩子，因此在第二层至少有两个结点。

2）除根和树叶外，其它结点至少有[m/2]个孩子,因此第三层至少有2*[m/2]个结点,在第四层至少有2*[m/2]2 个结点…

3）那么在第J+1层至少有2*[m/2]J-1个结点,而J+1层的结点为叶子结点,于是叶子结点的个数n+1。有：

也就是说在n个关键字的B树查找，从根节点到关键字所在的节点所涉及的节点数不超过：

3.B-树的插入

B-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。但由于B-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”，

如图（a）为3阶的B-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。

1) 首先通过查找确定插入的位置。由根*a 起进行查找，确定30应插入的在*d 节点中。由于*d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如（b）

2) 同样，通过查找确定关键字26亦应插入 *d. 由于*d节点关键字数目超过2，此时需要将 *d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 *d 节点中，而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 *d` 中。同时将关键字30 和指示节点 *d `的指针插入到其双亲的节点中。由于 *b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)

3) (e) -(g) 为插入85后;

插入算法：复制代码代码如下: int InserBTree(NodeType **t,KeyType kx,NodeType *q,int i){ /* 在m 阶B 树*t 上结点*q 的key[i],key[i+1]之间插入关键码kx*/ /*若引起结点过大，则沿双亲链进行必要的结点分裂调整，使*t仍为m 阶B 树*/ x=kx;ap=NULL;finished=FALSE; while(q&&!finished) { Insert(q,i,x,ap); /*将x 和ap 分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]*/ if(q->keynumkey[s]; /*将q->key[s+1…m],q->ptr[s…m]和q->recptr[s+1…m]移入新结点*ap*/ q=q->parent; if(q) i=Search(q,kx); /*在双亲结点*q 中查找kx 的插入位置*/ } } if(!finished) /*(*t)是空树或根结点已分裂为*q*和ap*/ NewRoot(t,q,x,ap); /*生成含信息(t,x,ap)的新的根结点*t,原*t 和ap 为子树指针*/ } 4. B-树的删除

反之，若在B-树上删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之，若该结点为最下层的非终端结点，且其中的关键字数目不少于ceil(m/2)，则删除完成，否则要进行“合并”结点的操作。假若所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。例如，在下图图4.1( a)的B-树上删去45，可以*f结点中的50替代45，然后在*f结点中删去50。

图4.1( a)

因此，下面我们可以只需讨论删除最下层非终端结点中的关键字的情形。有下列三种可能：

(1)被删关键字所在结点中的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从该结点中删去该关键字Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变，例如，从图图4.1( a)所示B-树中删去关键字12，删除后的B-树如图图4.2( a)所示：

图4.2( a)

(2)被删关键字所在结点中的关键字数目等于ceil(m/2)-1，而与该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1，则需将其兄弟结点中的最小(或最大)的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于(或大于)且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

[例如]，从图图4.2( a)中删去50，需将其右兄弟结点中的61上移至*e结点中，而将*e结点中的53移至*f，从而使*f和*g中关键字数目均不小于ceil(m-1)-1，而双亲结点中的关键字数目不变，如图图4.2(b)所示。

图4.2(b)

(3)被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到 Ai所指兄弟结点中(若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中)。[例如]，从图4.2(b)所示 B-树中删去53，则应删去*f结点，并将*f中的剩余信息(指针“空”)和双亲*e结点中的 61一起合并到右兄弟结点*g中。删除后的树如图4.2(c)所示。